可降阶的高阶微分方程

将特殊·的高阶微分方程降阶为一阶微分方程

情形 1

\begin{array}{r} y^{(n)} = f (x) \end{array}

只需要接连积分 n 次，得到含有 n 个任意常数的通解。

情形 2

\begin{array}{r} y^{″} = f (x, y^{'}) \end{array}

设 $y^{'} = p$ ，则有 $y^{″} = \frac{d p}{d x} = p^{'}$
$p^{'} = f (x, p)$ ，为一阶微分方程，求得通解 $p = φ (x, C_{1})$
进一步得到一阶微分方程 $\frac{d y}{d x} = φ (x, C_{1})$ ，直接进行积分，得到通解

情形 3

\begin{array}{r} y^{″} = f (y, y^{'}) \end{array}

没有显式出现自变量，令 $y^{'} = p$

\begin{array}{r} y^{″} = \frac{d p}{d x} = \frac{d p}{d y} \frac{d y}{d z} = p \frac{d p}{d y} \end{array}

则得到可分离变量的一阶微分方程：

p \frac{d p}{d y} = f (y, p)

分离并积分得到通解